文/姚斌
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小桥风满袖
李志辉
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伊恩·斯图尔特教授的《谁在掷骰子：数学不确定性》是在他的《上帝掷骰子吗？混沌之新数学》发表后的又一力作。1989年，那是一个发现混沌现象的新时刻。斯图尔特就讨论了混沌理论。所谓混沌，是指在一个有确定性的数学规则控制的系统中出现的看似随机的状况。其书名就是针对阿伯特·爱因斯坦的“上帝不掷骰子”的推论。爱因斯坦最初并不相信量子力学的规则是随机的。
时隔三十多年后，斯图尔特依然关注这个主题，并续写了这个主题，所以这本《谁在掷骰子？》实际上是前者的补充。因为在这三十多年中，混沌与量子不确定性之间的研究得到很大发展，已经不能与之前同日而语了。因此，在这本新书中，斯图尔特展示了所有能为不确定性提供信息的各种数学方法，汇集了很多已经发展了多年的数学技术，帮助我们管理、减少、消除、利用不确定性。让我们看看，数学不确定性是如何呈现在金融领域的。
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所谓的不确定，指的是不明确或不完全清楚的状态，或者不能肯定或含糊不清的。在这个时代，我们已经认识到不确定性会以多种形式出现，每种形式在某种程度上又都是可以理解的。世界比我们想象的要复杂得多，一切都是相互联系的。每一天都有关于不确定性的新发现，这些新发现拥有许多不同的形式和含义，为我们提供处理不确定性的新方法。我们拥有一个庞大的数学工具箱，它可以帮助我们在一个依旧充满可怕的不确定性的世界里做出明智的选择。我们在一秒钟内完成的计算量，比历史上所有用纸笔做计算的数学家们都大得多。结合对各种不确定性所使用的数学方法，以及由复杂算法得到的模式和结构，或者仅仅量化不确定性的程度，我们似乎可以在一定程度上迅速驯服这个不确定的世界。
当英格兰银行发布通货膨胀率变化的预报时，它提供了评价其数学建模预报可靠性程度的估计。它找到了一种向公众展示估计值的有效方法：绘制一幅“扇形图”来预言通胀率随时间的变化，但它不是一根孤零零的曲线，而是一条阴影带。随着时间的推移，条带变得越来越宽，这表明精确程度在下降。墨色的深浅表示概率水平；深色区域比淡色区域可能性更大。阴影区域覆盖了90%的可能预报。这意味着，（a）随着理解的不断深入，预测可以变得更加准确；（b）我们可以通过计算预测的可靠性来控制不确定性；（c）有时不确定性实际上是有用的。尽管如此，我们并没有真正理解全球金融体系。金融业伴随着繁荣与萧条——虽然我们说的是“繁荣与萧条循环”，实际指的是繁荣后会萧条，萧条后会繁荣，但我们并不知道它们会在什么时候发生转换。
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（英格兰银行通货膨胀扇形图）
对于像2008年那样的金融危机，普遍的观点认为，傲慢和贪婪导致人们对复杂金融工具的价值和风险作出了过于乐观的评估，没有人真正理解这些工具。不管是什么原因，金融危机生动的证明，金融事务包含着极大的不确定性。以前，大多数人认为金融世界是稳健且稳定的，掌管着我们的资金的人都是训练有素的专家，丰富的经验会让他们对风险采取谨慎和保守态度。后来发生的事情让我们了解了更多。事实上，之前曾有很多危机，警告我们以往的观点过于乐观，但都没被注意到，即使人们发现了一些，也会把它们当作永远不会再次出现了错误而不予理睬。
金融机构的种类有很多。零售银行应该是无风险的。而为项目、新业务和投机投资提供贷款的投资银行则完全不同。它们无法避免一定会有风险。20世纪80年代，当金融放松管制时，就改变了这一切。银行纷纷进入抵押贷款领域。当几家大银行陷入“次级”抵押贷款的麻烦时，人们发现原来所有的人都在犯同样的错误，危机就像野火一样蔓延开来。
金融问题很难预测。股票市场组织严密，作为一个有用的商业融资源头，它为创造就业作出了贡献，但也充满了风险。在外汇市场上，交易员将美元兑换成欧元、日元、卢布或英镑，主要是为了在某笔非常大的交易中赚取比例很小的利润。专业的交易商和交易员运用他们的经验，尽量保持低风险和高利润，股票市场比赛马更复杂，现在的交易员依赖复杂的算法，这些算法是在计算机上运用的数学模型。很多交易都已经自动化：算法会在瞬间作出决定，在没有任何人工干预的情况下进行交易。
所有这些发展的动机都是希望让金融问题更容易预测，减少不确定性，从而降低风险。金融危机的发生正是因为太多的银行家认为他们已经这么做了。事实证明，他们可能还不如看看水晶球。
20世纪90年代的互联网泡沫期间，市场参与者们抛售他们包含巨额盈利的实体产业，拿它们和三五成群的孩子在阁楼上用计算机和调制解调器捣鼓出来的东西对赌，时任美联储主席艾伦·格林斯潘曾在1996年发表演讲，谴责这种市场属于“非理性繁荣”。但在2000年互联网股票暴跌前夕，没有人在乎这些。到2002年时，市场灰飞烟灭，总共损失了5万亿美元。
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这样的事件在历史上不断重复发生。在艾萨克·牛顿说过“我能计算恒星的运动，但算不出人类的疯狂”名言之后很久，一些有数学头脑的学者才开始研究市场机制。与此同时，他们还开始关注如何做出理性的决策，或者至少是对那些行为是理性的做出最好的估算。于是，从19世纪开始，经济学就被打上了数学科学的烙印。
1826年，约翰·冯·屠能以代数和算术为基础，建立了各种经济系统的数学模型，并开发了分析这些模型的技术。1838年，数学家奥古斯汀·库尔诺创建了一个模型。在那个模型里，有两家公司在同一市场竞争，即所谓的双寡头垄断模式。这两家公司都根据对方的产能来调整自身的价格，然后一起达到某种均衡或稳定的状态。在这种均衡状态下，双方都尽其所能实现最佳。“均衡”的意思是“同样的平衡”，表示一旦达到这种状态，就不会发生变化。这里的含义是，任何改变对双方都不利。
威廉·杰文斯在1871年出版的《政治经济学原理》中指出，经济学“必须数学化，因为它处理的是数量”。只要收集足够多商品销售价格和数量的数据，就肯定能发现支撑经济交易的数学规律。于是，他掀起了“边际革命”：“当任何商品的数量增加时，那么从最后那部分商品中获得的效用和效益就会减少。”也就是说，一旦你获得足够多，再多就会变得不那么有用。
从那以后，均衡动力学和效用开始主导数理经济学，这种概念产生的一个主要影响，是经济学家莱昂·瓦尔拉试图将这类模型推广到一个国家甚至全世界的整体经济上。这就是他的一般竞争均衡理论。这种理论用方程描述买卖双方在所有交易中的决定，把地球上的每一笔的方程放在一起，然后解出一个平衡态，你就能为每个人找到最佳选择。这是一般化的方程太过复杂，无法用当时掌握的方法求解，但它们推导出两个基本原则。瓦尔拉定律指出，如果除了某个市场以外的所有市场都处于均衡状态，那么这个市场也处于均衡状态。这是因为如果其中某个市场可以改变，那么它也能让其他市场发生变化。他还提出了“喊价理论”，体现了他对真实市场如何达到均衡的看法。市场被看作一种拍卖，拍卖商提出价格，当价格符合买家的偏好范围时，他们会为想要的商品出价。这一理论的一个不足之处在于，在所有的商品都被拍卖之前，没有人真正购买过任何东西，也没有人在拍卖过程中修改过自己的底价。真正的市场并非如此：事实上，我们根本不清楚均衡状态是否适用于实际市场。瓦尔拉为一个充满不确定性的系统构造一个简单的确定性模型。他的方法被保留了下来，是因为没有人能想出更好的。
此后，新的数学方法在20世纪初开始出现。维尔弗雷多·帕累托建立了以改善选择为目的的经济主体交易商业模式模型。如果某个系统达到没有任何一个主体可以在不让其他主体变糟的情况下改进自己的选择，那么它便处于均衡状态。如今人们称这种状态为“帕累托均衡”。
1937年，约翰·冯·诺依曼利用拓扑学中的一个强有力的定理——布劳威尔不动点定理，证明了均衡状态总是存在于一类合适的数学模型中。在他的理论框架中，经济可以增值，他证明了在均衡状态下，增长率应该等于利率。他还发展了博弈论，它是一种简化的数学模型，该模型关于竞争对手从有限范围中的策略中做出选择，以实现收益最大化。后来，约翰·纳什因研究在博弈论中与帕累托均衡密切相关的一类均衡而获得诺贝尔经济学奖。
直到20世纪中叶，大学里仍然广泛教授古典数理经济学的大部分关键特征。几十年来，它是唯一所有地方都教授的用于研究经济的数学方法。然而，这种数学模型自有的严重局限性也越来越明显。特别是，认为经济主体是完全理性的，明确知道自己的效率曲线，并寻求将其最大化，这和现实并不相符。在古典数理经济学里，一个被广泛认可的显著特点是，很少有实证数据能对其进行检验，它是一门没有实践基础的科学。
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在金融数学中，路易·巴舍利耶发展出另一种截然不同的方法。他开创了一种“随机”方法来解决金融不确定性问题。这里的“随机”方法是一个技术术语，指的是具有内置随机元素的模型。股票的价格会以一种不规则、不可预测的方式发生，看起来更像是随机漫步而非光滑曲线。巴舍利耶引入一种名叫“布朗运动”的物理过程来模拟股价的变化。1827年，苏格兰植物学家罗伯特·布朗在用显微镜观察悬浮在水中的花粉颗粒腔内的微粒时，发现这些微粒随机摇动着，但无法解释其原因。1905年，爱因斯坦提出微粒与水分子发生碰撞。他对这一物理现象进行数学分析，其结果使许多科学家相信物质是由原子构成的。1908年，让·佩兰证实了爱因斯坦的解释。
巴舍利耶利用布朗运动模型回答了一个有关股票市场的统计学问题：预期价格(统计平均值)是如何随时间变化的？具体而言，价格的概率密度是什么样的？它又是如何演变的？巴舍利耶给出了对未来最有可能的价格估计，以及相对于那个价格可能的波动范围。巴舍利耶以热传导方程证明了在布朗运动模型中，期权的价格像热量一样传播。巴舍利耶还利用随机漫步开发了第二种方法。如果随机漫步的步伐越来越小，速度越来越快，就能近似成布朗运动。接着，他计算了“股票期权”的价格应该如何随时间变化。通过了解当前价格的扩散方式，我们可以得到对未来实际价格的最佳估计。
巴舍利耶利用随机波动对股票期权价值如何随时间变化的分析，最终被数理经济学家和市场研究人员接受。1973年，费希尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯发表了《期权与公司债定价》一文。在此前10年里，他们开发了一个数学公式来确定某一期权的合理价格。用这个公式进行交易的实验并不太成功，于是他们决定将推理过程公之于世。罗伯特·默顿对他们的公式进行数学解释，这个公式后来被称为布莱克-斯科尔斯期权定价模型。它将期权价格的波动与标的商品的风险区分开来，从而形成了一种称为德尔塔对冲的交易策略：在某种意义上，反复买卖标的商品，以消除期权带来的风险。这个方程通过数值计算方法，可以求出任意情形下期权的最优价。能算出一个唯一的“合理的”价格已经足以说明金融机构使用它，一个巨大的期权市场由此产生。
然而，布莱克-斯科尔斯方程所使用的数学假设并不完全符合现实。一个重要的原因是，蕴含的扩散过程的概率分布是正态的，因此极端事件不太可能发生。以正态分布来模拟那些实际上有厚尾的金融数据，会大大低估极端事件的风险。无论有没有厚尾，与正常情况相比，这些事件都很少见，但厚尾会让它们变得常见到足以构成严重问题。极端事件将让投资者亏损。意料之外的冲击，比如突然的政治动荡或某家大公司倒闭，可能会使极端事件发生的可能性比厚尾分布所预示的更大。互联网泡沫和2008年金融危机都和这种意料之外的风险有关。
对此，沃伦·巴菲特曾经发出警告：“布莱克-斯科尔斯公式在金融领域己近神圣……不过，如果将该公式应用在较长时间段，那么就有可能会导致荒谬的结果。平心而论，布莱克和斯科尔斯想必是明白这一点的。但他们忠实的追随者可能忽略了他们俩在最早公开这个公式所附带的警示说明。”2008年金融危机的一个原因是，人们未能认识到一些广受欢迎的衍生品的真正风险，这些衍生品包括信用违约互换和债务抵押债券等。模型声称的无风险投资是不存在的。
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进入20世纪80年代，数学家和科学家们对“复杂系统”非常感兴趣。在这种系统中，大量个体实体通过相对简单的规则相互作用，在整个系统的层面上产生了意想不到的“涌现”行为。拥有100亿个神经元的大脑就是一个实例。每个神经元都相当简单，它们之间传递的信号也是如此，但如果把足够多的神经元用正确的方法聚集在一起，就能得到贝多芬、奥斯汀或爱因斯坦这样的人物。
股票市场也有类似的结构：大量的交易者相互竞争以获得利润。布莱恩·阿瑟创建了基于主体的计算经济学（ACE），它的整体结构非常一般化。他建立了一个包含了许多主体的模型，它们会彼此交互，而这些交互预设有一些合理的规则，然后把它们置入计算机上运行，最终得到计算结果。布莱克·勒巴伦研究了ACE模型。该模型可以随着主体观察到的情况，相应地改变策略，价格也随之波动，就像真正的市场一样。纳斯达克证券交易所聘请复杂理论科学家开发ACE模型。模型经过调整后，可以生成正确的统计值。它表明，如果允许的价格波动幅度过小，交易员就可以在降低市场效率的同时快速获取利润。这是一种“自下而上”的分析，它对交易员个体和他们的行为进行建模。
与这种“自下而上”的理念相反。英格兰银行的安德鲁·霍尔丹和生态学家罗伯特·梅采用了“自上而下”的分析，它分析市场的整体状况，以及该如何控制市场，以免崩盘。他们在2011年提出，银行业可以从生态学中吸取教训。他们注意到，强调或弱化与复杂衍生品相关的所谓风险，忽视了这些工具可能对整个银行体系的整体稳定性在总体上造成影响。比如说，象群可能很兴旺，但如果大象太多，它们就会大量毁坏树木，使其他物种遭殃。经济学家已经证明，对冲基金（经济大象）的大规模增长可能会破坏市场的稳定。
霍尔丹和梅在阐述他们的建议时，有意选用了一些简单的模型，他们采用的是生态学家用来研究相互作用的物种和生态系统稳定性的方法。其中一个模型叫食物网，它是一种表示物种顺序的网络。网络的节点是各个物种，物种之间的连线代表一个物种是怎样以另一个物种为食的。为了将类似的概念应用到银行系统，每个主要银行都被表示为一个节点，在它们之间流动的是金钱而不是食物。这个类比不错。英格兰银行和纽约联邦储备银行发展了这一结构，以考察某一家银行倒闭对整个银行体系的影响。
霍尔丹和梅研究了整个系统的状况与两个主要参数之间的关系，这两个参数分别是银行净资产，以及在银行间贷款的资产占比。后者涉及风险，因为贷款可能无法偿还。如果某一家银行倒闭，就会发生这种情况，影响也会通过网络传播。该模型预测，当一家银行同时在零售银行和投资银行领域高度活跃时，它是非常脆弱的。该模型还描绘了另一种冲击银行体系的蔓延方式，它在2008年危机期间非常明显：银行陷入困境，停止相互放贷。用行话来说，就是发生了“资金的流动性冲击”。这种状况可以像多米诺骨牌效应一样在银行间迅速蔓延，而且会持续很长时间。这种简单的自上而下的模型对决策者是有用的。它具有一项非常重要的功能，即防止单个银行倒闭波及整个系统。总体而言，金融监管机构应该更像生态学家，去关注整个生态系统的健康程度，而不只是考虑某一单个物种。这又上升至对一个系统的坚固性的深层思考，最终归之于生态学思维。