文/姚斌
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著名的数学家和科普作家伊恩·斯图尔特教授的《改变世界的17个方程》出版已有十年了。在这十年间，几乎全世界都知晓了这17个方程。这17个方程并不是作者的创见，甚至连对这些方程的选取其实也没有那么重要。但为什么只是17个方程，而不是15个或20个？按照伊恩·斯图尔特的说法，是因为17个刚刚好，在某种程度上可能更加神秘。
毫无疑问，这些方程都改变了整个世界。譬如，麦克斯韦的电磁方程组通过简单的计算直接预测了无线电波的存在，带来了广播、电视、雷达和所有的现代通信。方程是数学、科学和技术的命脉。没有方程，我们的世界就不会是今天这个样子了。然而，在伊恩斯图尔特看来，方程的价值并不在方程本身之中，而在方程本身之外。方程有很多，但我们在此聚焦于布莱克-斯科尔斯方程。
■ 迈尔斯式的数学方程
布莱克·斯科尔斯方程也称布莱克-斯科尔斯期权定价模型（OPM），由费希尔·布莱克与迈伦·斯科尔斯在20世纪70年代提出。该模型认为，只有股价的当前值与未来的预测有关；变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关。
伊恩·斯图尔特将该方程隐喻为“迈达斯公式”。迈达斯是古希腊国王。据说，森林之神西勒诺斯和酒神狄俄尼索斯为了回报他的盛情款待，许诺可以实现他的任何愿望。贪财的迈达斯国王请求让自己碰到的东西都变成黄金，但他很快就后悔了，因为就连他的食物和水，甚至他的女儿也都变成了黄金。
自21世纪以来，金融部门增长的最大来源是金融工具，即所谓的“衍生产品”。衍生产品既不是货币，也不是对股票投资。它们是对投资的投资，是对承诺的承诺。衍生产品交易者使用虚拟的货币，也就是计算机中的数字。他们会向投资者借款，而这个款项本身也可能是从其他地方借来的。但通常他们没有借，甚至也没有虚拟地借。他们无意让“必要”成真，他们会在此之前卖掉衍生产品。出于同样的原因，由于贷款永远不会发生，贷款方可能实际上也没有钱。这就是“幻境”中的金融，但它已成为世界银行系统的标准做法。
世界上主要的股票市场很快就发现把虚无缥缈的东西转化为现金的机会，并且从那以后就开始交易期货。起初，这种做法并不会造成巨大的经济问题，尽管它有时会导致不稳定，而不是这个体系号称会带来的稳定。但在2000年左右，世界金融开始在期货主题上发明了更为眼花缭乱的变体——复杂的“衍生产品”，其价值基于某些资产假设的未来走势。比较而言，期货背后的资产至少是真实的，而衍生产品却可能基于一种本身就是衍生产品的资产。此时银行买卖的是关于赌局未来价格的赌局。这样很快就成了大生意。1998年，国际金融体系的衍生产品交易额约为100万亿美元；到2007年，增长到1000万亿美元……我们知道这是很大的数字。
衍生产品交易的后果最终变成了真正的货币，而实实在在的人却遭受了损失，变成了“大规模杀伤性武器”。大多数时候，这套体系是可以奏效的，因为除了让一些从虚拟资金池中抽走真实的钱的银行家和交易员腰缠万贯之外，它与现实的脱节并没有产生显著的影响。但是直到出了问题，然后游戏就结束了。引发的是必须用真金白银支付的虚拟债务，而付钱的却是其他人。这就是2008年至2009年银行业危机的原因。人类历史上最大的金融灾难之所以发生的其中一个因素就是一个数学方程。
■ 布朗运动中的随机游走
如今那些最为复杂的金融系统数学模型，许多都可以追溯到布朗运动。所谓的布朗运动是由苏格兰植物学家罗伯特·布朗发现的。他率先使用显微镜发现了细胞核的存在，1827年，布朗通过他的显微镜观察液体中的花粉粒，他发现花粉喷出了更细小的颗粒。这些微小的颗粒以随机的方式四处晃动，起初布朗想知道它们是否是一种微小的生命形式。然而，他的实验表明，来自非生命物质的粒子中也有同样的效果，因此无论是什么引起的晃动，它都不一定要有生命。
1905年和1906年，阿尔伯特·爱因斯坦和波兰科学家马里安·斯莫霍夫斯基各自独立地提出了布朗运动的物理解释：流体原子随机地撞击漂浮在其中的粒子，并给了它们微小的推动。他们为这个过程建立了数学模型，并以此确定原子的存在。在此基础上，爱因斯坦使用数学模型对运动的统计特性作了定量预测，由让·巴蒂斯特·佩兰在1908年至1909年得以确认。常见的模型假设微粒会受到随机撞击，每次运动的距离是正态分布——呈钟形曲线。每次撞击的方向均匀分布，即在任何方向上发生的机会都相同。这一过程称为“随机游走”。布朗运动的模型是这种随机游走的连续版本，其中撞击的距离和连续撞击的间隔变得任意小。直观上，我们考虑的是无限多次无限小的撞击。
在大量实验中，布朗运动的统计特性由概率分布确定，这一分布给出了微粒在给定时间之后到达特定位置的可能性。这种分布是径向对称的：概率仅取决于这个点与原点有多远。最初，微粒很可能接近原点，但随着时间的推移，微粒有了更多机会探索遥远的空间，可能到达的位置范围会扩散开来。值得注意的是，这种概率分布的时间演化服从热方程，通常被称为“扩散方程”。所以，概率分布会像热一样传播。
1900年，法国数学家路易·巴舍利耶将“随机游走”这个物理学的概念运用至他的博士论文《投机理论》中。巴舍利耶的导师正是大名鼎鼎的数学家亨利·庞加莱。庞加莱称巴舍利耶的这项工作“非常有原创性”。他还在某种程度上透露了更多秘密，在提到论文中推导误差呈正态分布的部分说：“令人遗憾的是，巴舍利耶并没有进一步发展论文的这一部分。”任何数学家都会把这句话理解成：“这才是数学开始变得非常有趣的地方，如果他对此做进一步的工作，而不只是研究关于股票市场的模糊思想，那我就很容易给他更好的成绩。”这篇论文被评为“优等”得以通过，甚至出版。但它没有获得“最优等”的最高成绩。
■ 肥尾的极端不确定性
巴舍利耶由此确立了股市波动和随机游走的原则。连续波动大小符合钟形曲线，其均值和标准差可以根据市场数据估算。这意味着大的波动是非常罕见的。原因是正态分布的尾部确实衰减得很快：比指数衰减快。钟形曲线x的平方指数速率衰减并趋于零。统计学家会讨论两西格玛波动、三西格玛波动等等。这里西格玛（σ）是标准差，衡量的是钟形曲线的宽度。比如，三西格玛波动是偏离平均值至少三倍标准差的波动。钟形曲线的数学让我们可以求出这些极端事件的概率。比如，三西格玛的概率是0.0027；五西格玛的概率是0.000 000 6。
从巴舍利耶的布朗运动模型可以得出，股市的巨大波动实在是太罕见，在实践中永远不会发生。比如，预计每1,000万次实验中，五西格玛事件大概会发生6次。然而，股市数据告诉我们，这种事件发生的概率要比这高得多。思科是全球通信业的领导者，在过去的20年中经历了10次五西格玛事件，而布朗运动预测只会发生0.003次。思科是伊恩·斯图尔特随机挑选的，但这种情况绝非个例。在1987年10月19日黑色星期一，世界股票市场在几个小时内损失了超过20%的价值，这么极端的事件本来应该基本上是不可能的。
数据清楚地表明，极端事件远没有布朗运动所预测的那么罕见。概率分布并不以指数方式或更快衰减。如果用金融术语，会说这样的分布有一个“肥尾”。肥尾意味着风险水平增加。如果你的投资有五西格玛的预期收益，那么假设市场符合布朗运动，它失败的可能性不到百万之一。但如果尾巴很肥，失败的可能性会更大，也许是百分之一。这就使得它成为一个更糟糕的赌注。
在现实中，肥尾往往代表了一种集中的程度。比如，研究一个国家的总财富有多少掌握在最富有的个人手里？一次对某个事物的观察会带来多少确定的判断？额外的观察在多大程度上能够提高结论的可靠性？同样的问题也适用在投资组合当中增加额外的证券等情形下进行决策，但更适用于金融市场的高度不确定问题。
纳西姆·塔勒布在《黑天鹅》和《肥尾效应》中就分别展现了对极端不确定性的数学理解。如果说《黑天鹅》告诉我们尾部存在，罕见又极具颠覆性，而《肥尾效应》则真正描绘了它的真实样貌。理解“肥尾现象”最好的方式是在真实世界中面对风险，因为人生只有一次，直面不确定性以后，就会发现把罕见事件纳入考量非常必要。之后再做数学化的拓展和提炼，去看尾部究竟是什么样的，肥尾效应的价值就会逐步呈现出来。
黑天鹅的本意与大众所理解的不同。大众的理解扩大了黑天鹅的范围，把罕见事件都包括在里面。但实际上黑天鹅真正指代的是罕见到超出统计认知的事件，也即“未知的未知”，而非“已知的未知”。然而，巴舍利耶的随机游走理论并未思考这样的重大问题。
■ 长期资本破产的代价
用数学方法对市场进行分析，催生了这样一种诱人的观念，即市场可以用数学方式建模，创造一种合理而安全的方式来赚取无限的金钱。1973年，布莱克和斯科尔斯推出了一种期权定价方法——布莱克-斯科尔斯方程，梦想似乎在此刻成真。随后，罗伯特·默顿在同一年为他们的模型给出了数学分析，并对其进行了扩展。该理论假设市场价格在统计上表现得像布朗运动，其中漂移率和市场波动率都是不变的。漂移是平均值的变动，而波动率是标准差在金融上的术语，衡量的是离散值的平均偏差。这种假设在金融文献中非常普遍，已经成为行业标准。
布莱克-斯科尔斯方程给期货市场带来了一定的理性，在正常的市场条件下非常有效。它提供了一种系统的方法来计算期权到期之前的价值，然后就可以出售期权了。这个方程非常好用，为默顿和斯科尔斯赢得了1997年的诺贝尔经济学奖。布莱克当时已经去世，而诺贝尔奖的规则禁止身后追授，但他的贡献被瑞典皇家科学院明确引述。方程是不是有效，取决于市场行为是不是正常。如果模型背后的假设不再成立，使用它就不明智了。但随着时间的推移和信心的增长，许多银行家和交易员都忘记了。他们把这个方程作为一种护身符，一种保护他们免受批评的数学魔法。
金融业很快就看到了布莱克-斯科尔斯方程及其解的优势，并同样快速地开发出了一系列针对不同金融工具、不同假设的方程。然而，模型出错的可能性是不可想象的。这个方程被称为“迈达斯公式”——把一切变成黄金的秘方。但金融界忘记了迈达斯国王的故事是怎么收场的。
典型的案例就是长期资本管理公司（LTCM）。这是一家对冲基金，而两位诺贝尔经济学奖得主斯科尔斯和默顿就在其中。LTCM擅长的交易策略基于数学模型。它分散投资的方式会在市场萧条时保护投资者，而在市场上涨时赚取巨额利润。起初，它获得巨大的成功，每年的回报率达到40%。直到1998年，它在4个月内损失了46亿美元。美国联邦储备银行说服其主要债权人花了36亿美元为其纾困。最终被牵连的银行拿回了他们的钱，而LTCM却在2000年破产了，付出了惨重的代价。
LTCM破产的最终原因，在它开始交易的那天就已经埋下了伏笔。一旦现实不再遵守模型的假设，LTCM就有大麻烦。俄罗斯的金融危机让整个体系失灵，毁灭了几乎所有这些假设。危机使市场陷入混乱，在恐慌情绪中，价格在几秒内大幅下跌，幅度是许多个西格玛。如果布朗模型是正确的，那么像俄罗斯金融危机一样极端的事件的发生频率应该不会超过一个世纪一次。伊恩·斯图尔特说在过去40年，他亲身经历过的这类事件就有七次。事后看来，LTCM的崩溃是一个警告。在这个不服从公式背后的舒适假设的世界中，人们充分注意到了利用公式进行交易的危险——然后很快忽略了它。
■ 借鉴生态学建模技术
在这个日益复杂的世界里，旧的规则已不再适用。经济学和生态学在许多方面都非常相似。一些相似之处是虚幻的：历史上，两个领域都经常使用另一个领域来证明其模型的合理性，而不是将模型与现实世界进行比较。但有些相似之处是真实的：大量生物之间的相互作用，非常类似于大量股市交易者之间的互动。这种相似性可以作为一个类比，但这样很危险，因为类比往往失灵。或者可以将其作为灵感来源，借鉴生态学中的建模技术，适当地修改后用于经济学。
伊恩·斯图尔特注意到，生态学家安德鲁·霍尔丹和罗伯特·梅在2011年1月《自然》杂志上提出了一些可能性。他们提出了改善金融体系稳定性的方法。他们将正统经济学家的普遍观点与20世纪60年代生态学中的类似观点相比较。正统经济学家坚称市场会自动寻求稳定的均衡；生态学家则强调“自然平衡”趋向于保持生态系统的稳定。当时，许多生态学家认为任何足够复杂的生态系统都会以这种方式稳定，而不稳定的行为，例如持续的震荡，暗示系统不够复杂。这种判断是错误的。事实上，如今的理解恰恰相反。假设大量物种在生态系统中相互作用，随着生态相互作用的网络因物种间新建的联系而变得更加复杂，或是相互作用变得更强，全在一个尖锐的阈值：一旦超过了该阈值，生态系统就不再稳定。这一发现促使生态学家寻找那些异常有利于稳定的特殊类型的相互作用的网络。
但是，直接将生态学与经济学进行类比可能不合适。霍尔丹和梅意识到，在金融生态系统中，进化的力量往往会让最胖的，而不是最适合的生存下来。其原因或是“冗余”所致。就像基因一样，有些是多余的，甚至是搭便车的。冗余也可指安全边际的概念，比如足够的冗余。在各种情况下，甚至极端情况，未知的未知，在冲击下仍能生存下去。建立“冗余”，最终也是建立适应性。于是，他们决定在构建金融模型时，不是去模仿生态模型，而是利用那些让我们更好的理解生态系统的一般建模原则。他们开发了几种经济模型，并证明了对于每一种模型在适当的条件下，经济体系会变得不稳定。
经济体系本来就是不稳定的。让交易者在市场上更快地下更大的赌注，并利用越来越快的交易速度，往往会造成更加不稳定。工程师们知道获得快速响应的方法是使用不稳定的系统：稳定性的定义就体现在对变化与生俱来的抵抗。而快速响应需要的则恰恰相反。因此，寻求更大的利润导致金融体系演变的越来越不稳定。
霍尔丹和梅建立了与生态系统的类比，提供了一些如何增强稳定性的例子。第一个建议是，监管机构不应该关注涉及个别银行的风险，而应关注于整个金融体系相关的风险。第二个建议是，让交易方法和风险评估更为多样。第三个建议是，模块化。生态系统通过演化会组织成在某种程度上自成一体的模块，模块之间以相当的简单方式连接，以此稳定自身，有助于防止冲击传播。
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方程是一种工具，就像任何工具一样，它必须有知道如何使用它的人用于正确的目的。布莱克-斯科尔斯方程可能导致了崩溃，但这完全是因为它被滥用。如果使用它导致了灾难性的损失，它的责任并不比交易员的计算机更大。对于工具失效的指责，应该由那些负责使用的人来承担。如果金融行业实际需要的是更好的模型，特别是对模型局限性的充分理解，那么数学分析就有完全失效的危险。金融体系过于复杂，不能依赖人类的直觉和模糊的推理。它迫切需要更多而不是更少的数学，但它还需要学习如何明智地使用数学，而不是把它当作某种神奇的护身符。