文/姚斌
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马里奥·利维奥的《最后的数学问题》第一版中文版出版于2010年，当时书名为《数学沉思录》。利维奥是一位数学史学家，也是一位天体物理学家。在这本书中，他以非常宽广的历史角度从数学与逻辑的联系等不同角度深入研究了数学的本质、数学本身的发展，以及数学与哲学的关系。其中的不确定性科学的研究历程更是我们关注的重点。
■ 从“悬链线问题”开始
不确定性研究最早来自统计学和概率论。利维奥将其视为“不确定性的科学”。这个世界不是静止不动的，而是不断运动的或者不断变化的。但是，这种无处不在、永不停息的运动，并没有难住数学。利用由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨引入的一个数学分支，也就是微积分，我们就可以对运动和变化进行严谨的分析和准确的建模。
沿着牛顿和莱布尼茨的脚步，17世纪启蒙运动时期的数学家们进一步拓展了微积分，将之发展为一门更有效应用更广泛的数学分支——微分方程。有了这种新式武器之后，数学家们可以从细节上为各种纷繁复杂的现象从数学理论上提供解释、小提琴的弦产生的音乐奥秘、热的传导、喷泉顶部水花的运动到水和空气的流动，可谓无所不包。
在为微分方程开辟的全新应用前景的先驱中，伯努利家族厥功至伟。从17世纪中叶到19世纪中叶，这个家族至少诞生了8位有影响的数学家。其中，雅各布·伯努利就是概率论的创始人之一。
雅各布·伯努利的研究从“悬链线问题”开始。这个问题最早是达·芬奇在两个世纪前提出来的。问题是这样的：一根灵活却不能沿展的链条，当其两端固定时，它垂下来的形态是什么样的？达·芬奇在笔记本上画了几个类似链条的草图。因为就连笛卡尔也没法解决它，于是这个问题成为数学上的一个著名难题。伽利略·伽利雷曾认为悬链线的形状是抛物线。但被法国数学家伊格内修斯·帕迪斯证明是错误的。
在雅各布·伯努利重新提出这个问题仅一年之后，他的弟弟约翰·伯努利就给出了正确答案。约翰·伯努利利用的数学工具就是微分工程。莱布尼茨和荷兰数学物理学家克里斯汀·惠更斯同样解决了它，但惠更斯采用的是一种更难理解的几何方法。
在发生的悬链线问题之后的几年，雅各布·伯努利、约翰·伯努利和丹尼尔·伯努利不但解决了类似悬链线这类问题，而且还解决了抛射体在阻尼介质中的运动的问题，并通过解决这些问题进一步发展了微分方程。悬链线的故事从另一个侧面说明了数学的力量——即使那些看上去微不足道的物理问题也有数学解决方案。
物理学在发现支配宇宙行为的数学规律方面，取得了震惊世人的成果。大多数数学家非常肯定，基于微积分的某些规律可以精确地预测未来的事件，无论这些事是大事小。这也是数学物理学家皮埃尔·西蒙·德·拉普拉斯的观点。拉布拉斯在其五卷本的著作《天体力学》中，第一次对太阳系中的运动给出了完整的解释。拉普拉斯回答了一个连牛顿都为之困惑不已的问题：为什么太阳系如此稳定？牛顿曾认为，由于星体之间的相互引力，行星最终将不得不落向太阳或飞离太阳，进入自由的宇宙空间。而在解释太阳系的稳定前，牛顿提到了“上帝之手”。拉普拉斯并不认同这种想法，他简单地从数学上证明了太阳系的稳定周期远比牛顿先前预测的时间要长久得多。
为了解决这个复杂的问题，拉普拉斯引入了另一种数学形式，即扰动理论，就此计算出影响每颗行星轨道运行的众多微扰力在累积叠加后的效应。拉普拉斯在他的《关于概率的哲学思考随笔》中写道：“所有事件，哪怕是那些似乎不遵循自然伟大法则的貌似微不足道的事件，事实上都是太阳公转的结果。如果忽略了把这类事件统一为一个完整宇宙系统的各种联系，那么这些事件将不得不依赖一些终极原因，而这些终极原因会产生或面临偶然性……”很显然，拉普拉斯并不喜欢不确定性。
量子力学是一门研究亚原子世界的科学理论。20世纪量子力学的发展证明了，假如期望宇宙万物都是确定的，这未免太过乐观了。现代物理学研究已经证实，要精确预测每一次实验结果是不可能的，哪怕仅仅在大体上进行预测也是不可能的。理论只能预测不同结果的可能性。很清楚，社会科学中的情况会变得更加复杂，因为社会科学中的各种相关因素往往交织在一起，而它们通常是很难确定的。
17世纪的研究者很快就发现要寻找像牛顿的万有引力定律那样精确、普适的社会规律，从一开始就注定是不可能的。就当前来说，把人类天性的复杂性引入方程式，要以此想获得确切的预测，这几乎是不可能的。如果把整个人类的心智都纳入考察范围内，那么就更加没有希望了。然而，科学家们并没有气馁，一小批具有天才智慧的思想家们发展出了全新的革命性的数学工具——统计学和概率论。
■ 挽开弓上最关键的箭
英国著名小说家丹尼尔·笛福以一本《鲁滨孙漂流记》而闻名，他还写了一本以超自然现象为题材的作品《魔鬼的政治史》。笛福认为，几乎所有地方都能看到魔鬼的行迹，“只有如死亡和纳税那样确定无疑的事，才是可信的”。确实，我们的生命历程看起来就是不可预测的，容易受到自然灾害的影响，受到人类错误的影响，甚至受到单纯的意外和偶然的影响。“由于发生了……我们无法……”这类句式在日常生活中经常出现，用来表达在面对无法预料的事件时的无助，或者遇到不可控的局面时的无奈。
正因为如此，数学家、社会学家和生物学家从16世纪就开始了一系列尝试，希望系统地解决不确定性问题。在建立了统计力学之后，人们意识到物理学的基础就是不确定性。因此，20世纪和21世纪的物理学家满怀激情地投入这场战斗。研究者们使用的武器就是计算特殊结果的概率，虽然不能实际预测某一特定结果，但计算不同后果的可能性，就是退而求其次的好办法了。统计学和概率论就是用来提高猜测和推断准确性的工具，它们不仅为现代科学打下了坚实基础，而且可以应用于经济活动、体育竞赛等各种社会活动中。
无论是经济学家、政治咨询顾问、遗传学家、保险公司，还是其他任何试图从海量信息和数据中得出有价值的结论的人或机构，如果仔细研究他们的分析过程，我们就可以看到，概率和统计是他们手中挽开的弓上最关键的箭之一。
第一位从现代意义上对统计学作出重要贡献的人是约翰·格兰特，实际上他并不是一位真正的科学家。他是17世纪伦敦的一个小杂货店主。他利用空闲自学了拉丁语和法语，并开始对伦敦的《死亡率登记表》产生了兴趣。这份登记表记录了伦敦每个教区每周的死亡人数，自1604年起就在伦敦公开出版。格兰特开始了一项有趣的观察，并最终出版了一本只有85页的小册子，名字是《有关死亡率登记表的自然和政治观察，在以下索引中提及》。
格兰特的开创性研究是根据不同原因的死亡人口数据，对现存人口构建一种年龄分布表，或称“生命表”。这种表包含了丰富的政治意义，因为它从总体上为政府提供了适合服兵役的人口数量，即16岁到56岁的所有男性。
格兰特估算出了6岁以前儿童的死亡率。他使用类似证据和事实根据的推测，也估算出了老年人的死亡率。最后，格兰特通过了年龄与死亡数之间的比例关系，进行了数学假设，填补上了6岁到76岁之间不同年龄段死亡率的空白。格兰特的许多结论在过去可谓闻所未闻。正如今天我们所看到的，他的研究成果成功地开创了统计科学。他仔细观察了过去被认为是纯粹的偶然或注定的特定事件之间的比例关系，揭示了它们之间其实存在某种极为稳定的规律，同时也为社会科学研究引入了科学、定量的研究方法。
格兰特之后的研究者们在很多方面都采纳了他的研究方法，并针对统计学应用发展做出了更好的数学理解。天文学家埃德蒙德·哈雷对格兰特的生命表作出了重大的改进。哈雷的生命表研究表明，一个活到6岁的人能活到50岁的概率是0.49。如果一个人已经活到了60岁，他能继续再活20年的概率大约是0.17。这一过程背后隐藏着清晰而简单的合理性。也就是说，我们可以依靠过去的经验来判断未来事件发生的概率。如果用来作为判断基础的事例的数量足够丰富，如果特定的推断持续有效，那么由此计算出的概率的可信度还是很高的。
但是，雅各布·伯努利认为，这种预测所依赖的因素完全是模糊不清的，它们相互关系中的复杂性可能会欺骗我们的感觉，让我们得出错误的结论。在得出这一结论后，伯努利给出了一个统计与概率的方法建议：有另外一种方法来引导我们得出寻找的答案，并至少能让我们确定那些之前不能确定的未来，那就是从大量的类似事件中观察，然后从观察结果中推断。在相同条件下，我们可以认定一件未来将要发生或不会发生的事件，基本遵循过去类似事件的发生方式。如此观察过去，我们就可以推断未来。
■ 统计结果展开的有序性
第一位清楚认识到统计学会在社会科学中产生“潜在规则”效应的人是比利时数学家阿道夫·凯特勒，这是他首次引入统计学中常用的“平均男性”概念，也就是我们今天所说的“平均人”。1823年12月，凯特勒被公费送去巴黎学习天文学的观测技巧，但在访问期间，他完全转向了另一个研究领域——概率论。点燃凯特勒对概率论研究的热情的那个人就是拉普拉斯。
凯特勒从本质上否定了偶然性的作用，大胆地用推断来替代它。凯特勒的这个推断就是，就算是社会现象背后也有其深刻原因，而统计结果展示的有序性可以用来揭示隐藏在社会秩序背后的规律。于是，他把自己的统计方法应用于实践测试，收集了数千项与人体自然特征有关的测量结果。他发现人类的基本特征都遵循了一种钟形频率分布，今天我们称为“正态分布”，也称高斯分布，以伟大的数学家卡尔·高斯的名字来命名。无论是身高、体重、肢体长度的测量，还是反映人类智力特征的心理测试，类似的曲线一次又一次的出现。实际上，这条曲线在18世纪中叶的数学家和物理学家就已经发现了，但这条曲线能与人的生理特征联系起来，这的确让人感到惊讶。
在任何物理定量分析中，测量的数值越多，得到的频率分布就越接近正态分布。这一事实展现了极富戏剧性的含义：数学“无理由的有效性”无处不在，就连人类犯下的错误都要遵循严格的数学规律。凯特勒认为，这些结论将产生深远影响。他把自己的发现——人类生理特征遵循误差曲线——当作自然界试图打造某种“平均人”的证据。他声称，一个民族的所有人都集中在该民族的同一个“平均人”周围。
凯特勒发现人类的生物特征的确呈现出正态频率曲线分布，尽管这一结论本身极其重要，但我们既不能把它当做自然意旨的证据，也不能把个体的变异仅仅当作“错误”来对待。人类无论在身高体重还是在智商值等特征上，都遵循正态曲线分布，这一事实本身就值得高度关注，美国职业棒球大联盟比赛中的击球率甚至也呈现出一种理性的正态分布，股票指数的平均回报率同样也呈正态分布。
但如果出现了偏离正态曲线的分布，那就需要引起重视，并对其进行仔细检查。莎士比亚在他戏剧中使用的单词的长度就不是正态分布的，莎士比亚更偏爱使用仅有3个或4个字母构成的短单词。美国的家庭平均收入也不是一条正态曲线，据统计，在2006年，全美6.37%的家庭收入大约占据所有家庭收入之和的1/3。
在历史上，人类生理特征不仅是研究频率分布的基础，也为建立数学中的“相关性”概念铺平了道路。相关性度量了一个变量的变化引起另一个变量变化的程度。例如，心理学家发现了父母的智力与他们的孩子在学校的成功程度之间具有某种相关性。当两个变量之间没有精确的函数依赖关系时，相关性就变得特别有用。例如，一个变量是亚利桑那州南部地区日间的气温，另一个变量是在这一地域发生火灾的次数。当给定的气温值时，由于火灾还与其他因素有关，比如空气的湿度和人为在林区的生活，所以没有人能精确预测可能发生火灾的次数。尽管如此，数学中的“相关系数”可以定量分析气温值和火灾数量这两个变量之间依赖关系的紧密程度。
■ 所有事情都有必然原因
早期研究概率的起因有些不足挂齿：赌徒们试图调整自己的赌注，来增加赢的概率。17世纪中期，一个赌徒向当时著名的数学家和哲学家布莱兹·帕斯卡提出了一系列关于赌博的问题。帕斯卡之后与另一位著名的数学家皮埃尔·德·费马之间频繁通信。于是，概率论的基本理论就这样建立起来了。帕斯卡在给费马的信中假设两位贵族在玩一种赌博游戏，游戏的工具是一只骰子，并以32枚金币作为赌资，然后计算64枚金币应当如何分配的问题。一门全新的、反映了深刻思想的数学分支，就诞生在这类十分浅显，甚至有点微不足道的讨论之中。
概率论的本质可以从简单的事实中得到体现。没有人能确定地预测出，一枚抛向空中的硬币在落地时哪一面会向上。即使连续抛10次同一枚硬币，每次都是头像向上，也丝毫不能提高我们对第11次抛出的硬币是哪一面朝上的预测能力。但如果把这枚硬币抛上1,000万次，我们就可以精确地预测出，头像一面向上的次数非常接近一半，并且有字一面向上的次数也非常接近一半。这就是概率论讲述的一切。概率论为我们提供了超多次实验的结果的精确信息，但不能预测任何特定的实验结果。
把概率论引入遗传学的是生物学家格莱格·孟德尔。孟德尔的整个实验与抛硬币是相同的。如果把硬币头像的一面视为绿色豌豆，把有字的一面视为黄色豌豆，要想知道碗豆呈现黄色的概率有多大，这与探讨在抛两枚硬币时至少得到一个正面朝上的概率有多大，是完全相同的。很明显，答案是3/4，因为在4种可能的结果里至少有3次出现一个字面。这和孟德尔在实验中反应的结果完全一致。
概率论和统计学的关系与宇宙学家们的研究模式十分相似：在概率论中，初始状态和变量是已知的，其目标是预测最可能出现的结果；而在统计学中，结果是已知的，但原因都是不确定的。统计学研究表明，大量的物理定量测量结果，甚至是人类许多生理特征都是按照正态频率曲线的方式分布的。更准确地说，正态曲线并不只是一根曲线，而是一簇曲线。这类曲线都可以用相同的通用数学公式来描述，而且它们的外形特征仅需两个参量就能完全刻画出来。第一个量是“均值”，即分布的平均值；第二个定义了正态曲线的量为“标准差”，标准差描述了数据在平均值周围的聚焦程度。
概率论和统计学在处理大样本事件时才会有意义，它们从来不是用来解决个体问题的。这一基本认识就是雅各布·伯努利提出的著名的大数定理。该定理表明，如果某一事件发生的概率是P，那么对于所有实验，P是事件发生最有可能的比例，而且如果实验次数接近无穷的话，那么事件发生的概率确定无疑就是P了。“如果我们能用这种方法实现‘确定的确定’……那么就能非常精确地断定一种后验情况发生的次数，就好像这是我们已知的一种先验情况。”
雅各布·伯努利花了20年时间来完善这一理论，最终成为统计学的支柱理论之一。伯努利认为，那些表面看上去只是碰运气的事情，实际上也遵循支配性法则。他说，如果持续不断地观察从现在直到永远发生的事情，我们就能发现，世界上所有的事情都有其必然的原因，并且绝对遵循某些确定的法则。所以说，我们自己，甚至那些看起来十分偶然的事件，都要受到某种自然规律的制约，而这似乎是命中注定的。
关于不确定性科学的故事结局十分简单：数学在某些方面甚至可以应用在生活中那些不太科学的领域中，包括表面看来完全是由运气支配的领域。