文/姚斌
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有一种蝉，会在地下蛰伏长达17年之久，随后破土而出，在数周之内完成羽化。这个17就是一个素数，它只能被自身和1整除。这个数，深深扎根于大自然，是蝉能够生存的关键。因为每隔17年才出土，它成功地躲过了捕食者，实现了生存机会的最大化。如果它是每隔10年出土，就会被那些以1、2、5或10年为繁衍周期的捕食者所捕获。如果它是每隔12年出土，就会被那些以1、2、3、4、5、6或12年为繁衍周期的捕食者所捕获。如果是17年，只会遇到以1年或17年为繁衍周期的捕食者所捕获。现在的问题是，蝉如何知道17是素数？这就是马库斯·杜·索托伊在他的《悠扬的素数》一书中所要破解的谜题。
■ 黎曼镜中的奇异数学
素数是算术中最基本的单元。素数是不可分割的，无法被写成两个较小数的乘积。13和17都是素数，能被写成3乘5的15就不是。素数是镶嵌在数的浩瀚宇宙中的宝石，赢得数学家们探索了好几个世纪。对于数学家来说，这些无尽的数，2，3，5， 7， 11， 13，17，19，23，…，存在于我们物理现实之外的某一个世界。它们对数学的重要性在于，它们可以构建出其他所有的数。每个非素数都可以素数的砖砖瓦瓦相乘所得。物理世界中的每个分子都由化学元素周期表中的原子构成，素数列表就是数学家的专属周期表。
素数貌似简单又基础，但却是数学家们最为神秘的研究对象。在一个致力于探寻规律与秩序的学科中，素数给出了终极挑战。浏览素数列表时，我们会发现，想要预测下一个素数何时出现是不可能的。这个列表似乎混乱又随意，给不出任何线索判断下一个数。找到一个公式，生成一个数列，给出一个神奇的法则，告诉我们下一个素数是什么。多年来，这个问题一直困扰着数学家们。他们已经努力了两千多年，而素数似乎还是不愿被归纳成一个简单明了的模式。在对秩序的追求中，数学家们能听见的唯有混沌之声。
数学家们无法接受大自然选择素数的方式是无从解释的。小于10 000 000的素数有以下几个：
9 999 901，9 999 907，9 999 929，
9 999 931，
9 999 937，9 999 943，
9 999 971，9 999 973，9 999 991。
但在大于10 000 000的前100个数里，素数寥寥无几：10 000 019，10 000 079。
难以想象究竟是什么公式能够生成这样的模式。相比于一个漂亮有序的模式，这一连串的素数其实更像是一个随机数列。就像知道了前99次抛硬币的结果并不能帮助你猜出第100次的结果，素数似乎也同样不可预测。
素数向数学家们展现了这个学科最奇特的一种张力。一方面，一个数要么是素数，要么不是，抛硬币不会突然就让一个数能被更小的数整除。另一方面，不可否认的是，一串素数看起来就像是随机选择的数列。物理学家们逐渐习惯了这样一个观点：量子骰子决定了宇宙的命运。每次掷骰子都会随机决定科学家将在何处发现物质。然而，数学家们却非常讨厌这种随机和无序。素数虽然具有随机性，却也比人类数学遗产中的任何其他部分都更具永恒性与普遍性。无论我们是否进一步充分认识它们，素数就在那里。
几个世纪以来，数学家们一直竭力倾听“素数之音”里的某种秩序，但似乎一切都是徒劳。此后，巨大的突破在十九世纪中叶到来。伯恩哈德·黎曼以崭新的方式关注这个问题。他开始以新视角理解素数的无序对应某种规律。在素数“噪声”的外表之下，有一种微妙且出人意料的和谐。他对自己发现的“神秘音乐”做出了大胆的推测，这一推测后来被称为“黎曼假设”：黎曼 ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上实部为1/2的直线上（这条直线被称为“临界线”）。它是大卫·希尔伯特1900年提出的23个问题之一，也是2000年克雷数学研究所公布的“千禧年大奖难题”之一。
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黎曼发现了一面数学之镜，他从中凝视素数，才有了这样的见解。当爱丽丝穿过镜子时，她的世界被翻转了。而在黎曼镜中的奇异数学里，素数的无序似乎转变成一种强大、有序的模式，就像每个数学家所期望的那样。黎曼推测，当我们透过这面镜子去凝视那个无边无际的世界时，无论看到有多远，这一秩序始终不变。他推测，镜子那一边存在着一种内在和谐，这就可以解释为什么素数表面上看起来非常混乱。混沌变为有序，这就是黎曼的镜子呈现出的变化，让一众数学家倍感惊奇。黎曼留给数学界的挑战就是去证明真的存在这样一个他认为能够领悟到的秩序。
到了1997年，一个新时代来临了。黎曼的构想不再虚妄：素数显而易见的无序似乎有了一个解释。数学家们知道通过对这一重大问题的解答，可以挖掘出许多其他宝藏，他们乐此不疲地追寻着。黎曼假设的解答将会为许多数学问题带来重大启示。数学对于从事研究的数学家们来说至关重要，对其本质的理解的任何突破都将产生重大影响。
黎曼假设似乎是一个绕不开的问题。当数学家穿行于数学领地时，似乎条条道路都通向黎曼假设的壮丽景观。很多人把黎曼假设比作攀登珠穆朗玛峰，越是还有很远的路尚未攀登，就越有人想征服它。征服珠穆朗玛峰之所以令人惊叹，并不在于峰顶本身格外激动人心，而是因为它带来的挑战。我们都想在黎曼的峰顶坐一坐，因为我们知道，一旦登顶，将会有怎样的景观呈现在我们面前。有千千万万的定理是以黎曼假设的成立为基础的。谁证出了黎曼假设，谁就有望弥补这些定理中的缺口。许多数学家为实现自己的目标，只能干脆默认黎曼假设成立。
■ 走上商业世界的舞台中央
很多结果都依赖黎曼的挑战，这就是为什么数学家把它当做一个假设而非猜想。当数学家为构建理论而做出必要的“假设”时，这个词具有更强烈的推断含义。相比之下，“猜想”只不过是一种猜测，展现了数学家所相信的世界运转的法则。如果有人能把这个假设变成“定理”，那所有未证的结果都将得以证实。
被黎曼假设所吸引的数学家赌上了自己的声誉，期望有一天，有人能证明黎曼的直觉是正确的。事实上，它已经成为了追求数学真理的一块基石。然而，如果黎曼假设其实是错的，这将完全摧毁我们靠直觉探究事物运作方式的信心。我们是如此坚信黎曼是正确的，以至于换一种答案就得彻底扭转我们的数学世界观，甚至，我们所相信的存在于黎曼峰顶之上的所有结果都将烟消云散。
最重要的是，黎曼假设的证明意味着，数学家们能够通过极快捷的方式定位素数，哪怕是百位的或是其他任意位数的。找出百位的素数听起来就像是在针尖上数天使，徒劳无益。大多数人都清楚数学是飞机制造和电子科技发展的基础，但很少人会期待神奇的素数世界能对他们的生活产生多大影响。而实际上，素数在混乱的商业世界中走上了舞台中央。它不再局限于数学堡垒。
20世纪70年代，三位数学家，罗纳德·李维斯特、阿迪·沙米尔和罗纳德·阿德曼将学术象牙塔中的游戏——对素数的追寻，变成了重要的商业应用。这三位数学家运用17世纪皮埃尔·德·费马的一个发现，得出一种方法，可以在浏览全球市场中的电子商城时，用素数保护信用卡号。20世纪70年代，当这个概念首次被提出时，没有人能想到商业电子商务会发展得如此庞大。在今天，如果没有素数的力量，这样的商业模式就无法存在。
每当我们在网上下单时，计算机就会通过几百位的素数提供安全保障。该系统以三位创始人的姓氏命名，叫做RSA。到如今，已有超过百万的素数用于保护电子商务。互联网上的每一笔商务交易都依赖好几百位的素数来保证交易安全。互联网的作用不断扩展，这就让我们每个人都能拥有专属素数用于识别身份。突然间，人们对黎曼假设的证明如何有助于理解素数在所有数中的分布产生了商业兴趣。
虽然密码的构建依赖费马300年前关于素数的发现，但想要破解密码却要依靠一个我们仍然回答不了的问题。RSA的安全性在于，我们解答不了关于素数的基本问题。数学家们非常了解素数，能够用其构建这些网络密码，却不知道如何破解。我们可以理解半边方程，却理解不了另一边。然而，我们越是想要揭开素数的神秘面纱，网络密码就越发不安全。这些数是开锁的钥匙，被锁保护着的是这个世界的电子秘密。这就是为什么像美国电话电报公司和惠普这样的公司正在投入资金，致力于理解素数和黎曼假设的奥妙。由此取得的见解将有助于破解这些素数的密码。但凡有互联网平台的公司都希望能够第一个知道，他们的密码会在什么时候不安全。这也是为什么数论和商业会成为如此奇怪的盟友。商界和安全机构正密切关注的纯粹数学家们的黑板。
对素数奥秘根源的探究已经持续了两千多年。当希尔伯特向全球数学家直接发起挑战，邀请他们解开这一谜题时，这个世纪的序幕由此拉开。黎曼假设的证明成为20世纪恰如其分的数学高潮。2000年5月24日，为纪念希尔伯特提出挑战100周年，数学家们和媒体齐聚法兰西公学院，要听听会宣布哪7个问题，这是对新千年的数学界发起的挑战。这个问题出自世界上最顶尖的数学家组成的一个小团队，其中包括安德鲁·怀尔斯和阿兰·科纳。黎曼假设和其他6个问题被标价100万美元。
提出新千年问题的主意出自美国波士顿的一位投资者——兰登·克莱。他在牛市中买卖共同金基金，从而致富。克莱于1988年赞助成立了非营利性基金会，旨在推动数学研究与传播。他意识到，数学家们的动力并非金钱：“对真理的追寻，对数学之美、数学之力量和数学之优雅的回应才是数学家们的动力。”在发布新千年问题的第二天，克莱数学研究所的网站就因为承受不了巨大的点击量而崩溃。
正如希尔伯特敢于展望未知，黎曼假设的证明也开启一段新的旅程。素数故事中的那些回肠荡气和兜兜转转，源自实实在在的人生，源自丰富多彩的人物。当代“数学魔法师”和互联网企业家的名字取代了法国大革命中的历史人物和拿破仑的朋友们。于是，黎曼假设成为数学的“经度”，它的解答可以描绘出浩瀚数海中的迷雾水域。
■ 随机分布于所有的数中
我们确实在大自然中发现动物王国认识素数。有两种蝉，分别叫做17年蝉和13年蝉，它们各自的生命周期是17年和13年。除了生命的最后一年，它们一直都待在地下，靠吸食树根的汁液生活。到最后一年，它们从蛹彻底变为成虫，大群地钻出地面。这是一件令人惊奇的事情，因为每隔17年，17年蝉就会在一夜之间占领一片森林。它们高声歌唱、交配、觅食、产卵，然后在6周后死去。这片森林又要沉寂17年。
有好几种可能，一种说法是，因为两种蝉都是按素数生命周期进化的，所以很少能出现在同一年份。事实上，每隔17×13＝221年，它们才会共享一片森林。想象一下，如果它们选择的周期不是素数，比方是18和12。同样的时段里，它们会同步出现6次，分别是第36、72、108、144、180和216年。这些年份都是由18和12的素数模块构成的。而素数13和17却可以让两种蝉避开过度竞争。另一种说法是，有一种捕食者会和蝉同步出现。这种捕食者对蝉来说是致命的，所以蝉进化出了能避开它们的生命周期。比起非素数的生命周期，换成素数的17或13年，蝉可以确保自己尽可能少地和捕食者出现在同一年。对蝉来说，素数不仅是某种抽象的神奇存在，更是它们生存的关键。
进化或许能解释素数对蝉的意义，但数学家希望有更系统的方式来探究这些数。在所有关于数的问题中，数学家尤其想要得到素数的秘密公式。高斯凭借他的素数表和横向思维，找到了审视素数的正确视角，某种曾经隐藏的秩序也许能从混乱的表象中显现出来。
数学家的工作，一部分是在数学世界中找出规律和结构，另一部分则是去证明这个规律是不变的。“证明”或许标志着数学家真正开始了他们的推演艺术，而非仅仅在做数字命理学上的观察。古希腊人早就有这样的领悟：一些事实可以被证明始终正确，无论你数多远，核验多少例子。对所有其他科学来说，真正值得信赖的唯有实验证据，但数学绝对不会在没有证明的情况下就去相信数据。在某种意义上，鉴于数学这一思想学科的超凡本质，数学家们更倾向于依靠证明来赋予这个世界某种真实感。其他科学家可以用肉眼看见物质实体，而数学家只能依靠如第六感一般的数学证明，来应对那个看不见的主题。
其他学科给出的世界模型可能在两代人之间就崩溃了。数学证明则不同，它让我们能以百分之百的确定性去构建关于素数的真相，不会因为未来的发现而改变。数学是一座金字塔，每一代人都在前人的基础上添砖加瓦，完全不用担心它会坍塌。这种持久性正是吸引人们成为数学家的魅力所在。数学证明创造了永恒，它带来的正是英国数学家戈弗雷·哈代所说的真正“不朽”。这往往就是为什么在一个充满不确定性的世界里，人们会被这门学科吸引。当年轻的心想要逃离这个他们无法应对的现实世界时，数学世界一次又一次提供了避难所。
黎曼有一个向全世界保密的公式，他发现，虽然素数看似混沌，但这些点在他的地图上是井然有序的。它们并非随机分布，而是排成一条直线。他无法洞悉这片图景的遥远地带，无法判断这一模式是否成立。但他相信，就是如此。于是，黎曼假设诞生了。
如果黎曼假设为真，那它便能帮助我们理解，为什么素数像是抛硬币选出来的。但或许，黎曼关于这些点的直觉只是一厢情愿。或许，随着音符继续流淌，素数乐团中的某个乐器将会主导乐章。也许，要在远处的数中才能发现规律。也许，在我们所处的数学宇宙的创造进程中，随着大自然一次又一次的投掷，素数硬币开始出现了偏颇。正如我们所发现的，素数隐藏了它们的真实面貌。于是，我们开始求证黎曼所确信的，在他的素数藏宝图中，所有的点都在一条直线上。
素数的美妙之处在于，它们不会过时。科学理论兴衰更迭，岁岁枯荣，数学却是最长青。面对预示着科学新理论的革命，证明的力量令数学无可撼动。古希腊于两千多年前首次提出的素数发现至今依然成立。索托伊认为，我们距离证明还差一个重要的构想，但这不是说，我们未曾取得关于数学的新发现。在过去的20年里，一批年轻的已经不那么年轻的数学天才脱颖而出，向我们呈现了这些神秘事物的新面貌。
虽然欧几里得证明了素数永不枯竭，但正如高斯所见，越是通向数的宇宙深处，素数就越稀少。黎曼猜测，素数随机分布于所有数中。随机性往往将事物集中在一起。你等一辆公交车，结果两辆一起出现。我们认为素数也是如此。我们距离答案还有多远？众说不一。数学家安德鲁·奥德里兹科在黎曼的藏宝图中计算出了海平面的许多零点。他认为，我们无法预测何时登顶：“可能是下周，可能是一个世纪以后。这个问题似乎很难。”
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素数的故事远远超出了数学界。科技的进步改变了我们从事数学的方式。诞生于布莱切利园的计算机让我们能够观测到从前受限于不可观测宇宙的数。量子物理语言让数学家能够阐明规律与关联。如果没有科学文化的交叉融合，我们或许永远都无法取得这些发现。就连美国电话电报公司、惠普和加利福利亚州的一间电子设备仓库也曾参与其中。素数凭借自己在计算机安全中的核心的作用成为焦点。
如今，素数正在保护世间的电子秘密，免遭网络黑客的窥视，它们影响着我们的生活。纵然经历了这些曲折，素数仍然不可捉摸。每当我们追寻它们进入新的领域，它们总能找到新的藏身之处。在探索数学世界的旅程中，素数与我们一路相伴，却仍然是最神秘的数。最伟大的数学家们尽其所能，想要阐释这一神秘乐章的编写与演绎，但素数证明依然未解。我们仍然在等待那位能让素数歌唱，并终将以此不朽的数学家出现。